Маша купила на рынке орехи.Маша разложила все орехи по два-остался 1 орех.Маша разложила все орехи по 3,по четыре, по пять, по шесть, и каждый раз оставался 1 орех.А когда она разложила орехи по 7 лишних орехов не осталось.Витя знает,что у маши меньше 500 орехов.Сколько орехов у Маши?

Вопрос школьника по предмету Математика

Маша купила на рынке орехи.Маша разложила все орехи по два-остался 1 орех.Маша разложила все орехи по 3,по четыре, по пять, по шесть, и каждый раз оставался 1 орех.А когда она разложила орехи по 7 лишних орехов не осталось.Витя знает,что у маши меньше 500 орехов.Сколько орехов у Маши?

Ответ учителя по предмету Математика

1)  Пусть Маша купила k орехов , при этом по условию задачи: 

 k<500,   где   k∈N (т.е. k — натуральное число)

 k = 7n ,  где  n ∈ N

Следовательно:

7n<500     ⇒   n< 500 / 7  ⇒    n< 71  3/7  

Но вспомним , что n  — натуральное число ⇒ n ≤71  

Тогда k ≤71 * 7   ⇒  k ≤ 497  

2) По условию  (k — 1) орехов делится на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6  без остатка.

Наименьшее общее кратное  этих чисел:

НОК (2,3,4,5,6) =
6*2*5 = 60

2,3 и  
5  — простые числа (числа, которые делятся без остатка на  1 и на само число)

4= 2*
2

6=
2*3 

k — 1 =  60m   ⇒  k = 60m +1  , где k ∈ N , m ∈ N ,  k ≤ 497

3) Следовательно:

60m + 1 ≤ 497

60m ≤497 — 1

60m ≤ 496

m ≤496 / 60

m≤ 62/15

m ≤ 8   2/15   ⇒     m ≤ 8 

Допустим:

1) m = 8

60*8 + 1 = 481  — не походит ,  т. к.  не соблюдается условия k = 7n

( 481:7 = 68 (ост. 5) )

2) m =  7

60 * 7 + 1  = 421  — не подходит, т. к.  k≠ 7n

(421 : 7 = 60 (ост. 1) )

3) m= 5

60 * 5 + 1 = 301 (орех)  —  подходит

проверим :

301 : 7 = 43

301 : 2 = 150 (ост. 1)

301 : 3 = 100 (ост. 1)

301 : 4  = 75 (ост. 1)

301 : 5 = 60 (ост. 1)

301 : 6 = 50 (ост. 1)

4) m = 4

60 *4  + 1 = 241 —  не подходит, т.к. k≠ 7n

(241 : 7 = 34 (ост. 3) )

5) m = 3

60 * 3  + 1 = 181  — не подходит,  т.к.  k≠7n

(181 : 7  = 25 (ост. 6) )

6) m = 2

60 * 2 + 1 = 121  — не подходит , т. к. k≠ 7n

(121 : 7 = 17 (ост. 2) )

7) m = 1

60 * 1 + 1 = 61  —  не подходит ,  т.к.  k≠ 7n

(61 : 7 = 8 (ост. 5) )

Ответ:  301 орех у Маши.