Исследовать функцию y= xln^2 x, построить схематично ее график.

Вопрос школьника по предмету Математика

Исследовать функцию y= xln^2 x, построить схематично ее график.

Ответ учителя по предмету Математика

Схема исследования функции:

1)
Область определения D(X) = (0; +oo) (из-за логарифма).

2)
Четность — ни четная, ни нечетная. Функция общего вида.

3)
Периодичность. Непериодическая.

4)
Непрерывность. Непрерывна на всей обрасти определения.

5)
Нули функции. x*ln^2 x = 0

x > 0, можно на него разделить

ln^2 x = 0; ln x = 0; x = 1

6)
Критические точки.

y ‘ = ln^2 x + x*2ln x*(1/x) = ln^2 x + 2ln x = ln x*(ln x + 2) = 0

ln x = 0; x1 = 1; y(1) = 0 — минимум

ln x = -2; x2=1/e^2≈0,135; y(1/e^2)=1/e^2*(-2)^2=4/e^2≈0,541 — максимум

7)
Промежутки монотонности.

При x ∈ (0; 1/e^2) будет y ‘ > 0 — возрастает

При x ∈ (1/e^2; 1) будет y ‘ < 0 — убывает

При x ∈ (1; +oo) будет y ‘ > 0 — возрастает

8)
Точки перегиба.

y » = 1/x*(ln x + 2) + ln x*1/x = 2/x*ln x + 2 = 0

Делим всё на 2

1/x*ln x + 1 = 0

1/x*ln x = -1

ln x = -x

x0 ≈ 0,567 — это можно найти только подбором или графически.

Никаких формул для нахождения корня тут нет.

y(x0) = x0*ln^2 (x0) = x0*(-x0)^2 = x0^3 ≈ 0,182

9)
Промежутки выпуклости и вогнутости.

При x ∈ (0; 0,567) будет y » < 0 — выпуклый вверх

При x ∈ (0,567; +oo) будет y » > 0 — выпуклый вниз

10)
Пределы

lim(x-> 0) x*ln^2 x = 0

lim(x-> +oo) x*ln^2 x = +oo

11)
Асимптоты.

Вертикальных асимптот (разрывов функции) нет.

Горизонтальные и наклонные асимптоты

f(x) = kx + b

k = lim(x->oo) (y/x) = lim(x->oo) ln^2 x = +oo

Асимптот нет.

12)
Область значений функции. Это можно найти, только исследовав все остальное, поэтому это последний пункт.

y ∈ [0; +oo)

График я примерно изобразил на рисунке.