Исследовать функцию и построить ее график y=(-1/3)x³+(1/2)x²+2

Вопрос школьника по предмету Математика

Исследовать функцию и построить ее график y=(-1/3)x³+(1/2)x²+2

Ответ учителя по предмету Математика

ДАНО

Y= — 1/3*x³ + 1/2*x² + 2

ИССЛЕДОВАНИЕ

1. Область определения — Х∈(-∞;+∞) — непрерывная.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х ≈ 2.45.

3. Пересечение с осью У.  У(0) = 2.

4. Поведение на бесконечности.limY(-∞) = +∞  limY(+∞) = -∞

5. Исследование на чётность.Y(-x) = x³/3 +x²/2 + 2 ≠ Y(x).

Функция ни чётная ни нечётная.

6. Производная функции.Y'(x)= x² + x = x*(x+1)

7. Корни производной — локальные экстремумы.

Убывает — Х∈(-∞;0]∪[1;+∞)

Минимум при Х=0. Ymin(0) = 2

Возрастает — Х∈[0;1]

Максимум при Х=1.  Ymax(1)= 2.16(6)

8. Вторая производнаяY»(x) = 2x — 1

9. Точка перегибаY»(x)=0 при X=0.5.

Вогнутая — «ложка» — Х∈(-∞;0,5]

Выпуклая — «горка» — X∈[0.5;+∞)

10. График в приложении.