знайти найбільше та найменше значення функції на вказаному відрізку [a; b] 1) у = х^3-3х^2+9х, на [-4; 4] ; 2) у=(х+6)/(х^2+13) , на [-5; 5] ; 3) у=х^2+81/х^2 , на [-1; 4] .

Вопрос школьника по предмету Математика

знайти найбільше та найменше значення функції на вказаному відрізку [a; b]
1) у = х^3-3х^2+9х, на [-4; 4] ;

2) у=(х+6)/(х^2+13) , на [-5; 5] ;

3) у=х^2+81/х^2 , на [-1; 4] .

Ответ учителя по предмету Математика

Ответ:

. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

  на промежутке [-4; 1]

Точка разрыва  x=9   в заданный интервал не входит.

Первая производная для нахождения точек экстремумов.

Обе точки экстремумов не попадают в интервал  x∈[-4; 1]

Значения функции на концах интервала

Ответ: наименьшее значение функции ;

           наибольшее значение функции F(1) = 0,75

——————————————————————————

2. Записать уравнение касательной к графику

функции   F(x)=x⁴-2x   в точке  x₀=-1

Уравнение касательной имеет вид  y = F(x₀) + F’(x₀)·(x — x₀)

F(-1) = x⁴-2x = (-1)⁴ — 2(-1) = 1+2 = 3

F'(-1) = (x⁴-2x)’ = 4x³ — 2 = 4(-1)³ — 2 = -6

y = F(x₀) + F’(x₀)·(x — x₀) = 3 — 6 (x + 1) = 3 — 6x -6 = -6x — 3

Ответ:  уравнение касательной   y = -6x — 3

—————————————————————————

3. Исследовать функцию и построить ее график  F(x)=x³-3x²

1) Область определения  D(F) = R

2) Область значений  E(F) = R

3) Нули функции

   F(x)=x³-3x² = 0;      x²(x — 3) = 0;     x₁ = 0;  x₂ = 3

4) Пересечение с осью OY

  x = 0;   F(0) = 0³-3·0² = 0

5) Экстремумы функции

  F'(x) = 0;   (x³-3x²)’ = 0;   3x² — 6x = 0;  3x(x — 2) = 0;

  x₁ = 0;  F(0) = 0;   F»(0) = 6x — 6 = -6   ⇒  локальный максимум.

  x₂ = 2;  F(2) = 2³-3·2² = -4;  F»(2) = 6x — 6 = 6  ⇒  локальный минимум.

6) Монотонность функции.

   Интервалы знакопостоянства первой

              производной F'(x) = 3x(x — 2)

   ++++++++ (0) ————- (2) +++++++++> x

         /                                        /

  x ∈ (-∞; 0)∪(2; +∞)  —  функция возрастает

  x ∈ (0;2)  —  функция убывает

7) Функция не периодическая, общего вида (не является чётной, не является нечётной).

8) Дополнительные точки для построения

x₃ = -1;  y₃ = -4;  x₄ = 1;  y₄ = -2

9) График функции в приложении