Заполненный газом под давлением p=0,1 атм герметичный цилиндрический сосуд разделен пополам тонким поршнем массой m=5кг. Сосуд положили горизонтально на тележку, которая начала движение с ускорением a=1 м/с². На какое минимальное расстояние (в см) сместился при этом поршень? Длинна сосуда l=80см , площадь поперечного сечения S=10см²

Вопрос школьника по предмету Физика

Заполненный газом под давлением p=0,1 атм герметичный цилиндрический сосуд разделен пополам тонким поршнем массой m=5кг. Сосуд положили горизонтально на тележку, которая начала движение с ускорением a=1 м/с². На какое минимальное расстояние (в см) сместился при этом поршень? Длинна сосуда l=80см , площадь поперечного сечения S=10см²

Ответ учителя по предмету Физика

если расстояние, на которое сместился поршень, минимальное, то изменением температуры можно пренебречь. значит, для газа справедлив закон Бойля-Мариотта

при движении поршня на него действуют силы со стороны газов по обе стороны от поршня и сила инерции со стороны тележки

допустим, тележка движется вправо, тогда сила инерции приложена к поршню горизонтально влево и равна Fин = ma. пусть в правой части сосуда газ обладает давлением P2, а в левой — P1

в момент, когда сила, вызванная разностью давлений, скомпенсировала силу инерции и поршень остановился, справедливо уравнение:

P1S — P2S — Fин = 0

S (P1 — P2) = ma

найдем связь между давлениями P1 и P2 через закон Менделеева-Клапейрона, считая, что массы газов по обе стороны от поршня одинаковы:

P1/P2 = V2/V1

V1 = S ((L/2) — x)

V2 = S ((L/2) + x)

P1/P2 = ((L/2) + x)/((L/2) — x)

P1 = P2 ((L/2) + x)/((L/2) — x)

тогда уравнение динамики примет вид:

P2 S (((L/2) + x)/((L/2) — x) — 1) = ma

P2 S (2x)/((L/2) — x) = ma

P2 = (ma ((L/2) — x))/(2xS)

напишем закон Бойля-Мариотта для газа, находящегося в правой части сосуда:

P S (L/2) = P2 S ((L/2) + x)

P L = P2 L + 2 P2 x

PL = (m a L ((L/2) — x))/(2xS) + (ma ((L/2) — x))/S

PL = ((maL²)/2 — maLx + maLx — 2max²)/(2xS)

2 x S P L = (maL²)/2 — 2 m a x²

x² + x * (SPL)/(ma) — L²/4 = 0

из соображений, что x не может быть отрицательной величиной, получаем:

x = (1/2) * (√( ((SPL)/(ma))² + L² ) — (SPL)/(ma))

x = (1/2) * (sqrt( (8/5)^(2) + 0.8^(2) ) — (8/5)) ≈ 
0.0944 м или 9.44 см