Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратно 3.

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратно 3.

Ответ учителя по предмету Алгебра

Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратно 3.
* * * * * * * * * * * *

A² — B
² = (A-B)(A+B)    
(при делении  на 3 остатки могут быть 1 или 2)
допустим :
а) остатки при делении на 3 одинаковые
A =3m +1 , B = 3n +1   * * * или  A =3m +2 , B = 3n +2  *  * * 

тогда  множитель  (A —
 B)  следовательно и (A-B)(A+B)   
делится на 3 .
A -B =(3m +1)  -( 3n +1) = 3(m — n)  

* * * или  A -B=(3m +2) — (3n +2) =3(m-n) * * * .

—

б) остатки при делении на 3 разные
A =3m +1, B = 3n +2  * * * или  A =3m +2 , B = 3n +1  *  * * 

тогда  множитель  (A + B)     следовательно и (A-B)(A+B)   
делится на 3 .
 A + B = (3m +1)+(3n +2) =3(m + n+1)

* * * или  A -B=(3m +2) + (3n +1) = 3(m+n+1) * * *