Дам 30 баллов!, При каких значениях а и в равенство а/х+5 + в/(х-2)² = х²+24/х³-х²-16х+20 является тождеством?

Вопрос школьника по предмету Алгебра

Дам 30 баллов!,
При каких значениях а и в равенство
а/х+5 + в/(х-2)² = х²+24/х³-х²-16х+20 является тождеством?

Ответ учителя по предмету Алгебра

При каких значениях а и в равенство

а/ (х+5) + b/(х-2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20)  является тождеством ?

Решение:   а / (х+5) + b/(х -2)² = (х²+24) / (х³+х²-16х+20)

x³+х²-16х+20 = x³ — 2х²+3x²-6х  — 10x +20  =x²(x-2) +3x(x-2) -10(x-2) =

(x-2)(x² +3x -10) =(x-2)(x +5)(x -2) = (x +5)(x -2)²

— — —

а / (х+5) + b/(х -2)²  =  (х²+24) / (х+5) (х -2)²

( a(х -2)²  +b(x+5) ) / (х+5) (х -2)² = (х²+24) / (х+5) (х -2)²

a(х -2)²  +b(x+5)   ≡ х²+24     для всех  x

ax² — 4ax +4a +bx +5b ≡ х²+24

ax² +  (b -4a) x +4a +5b   ≡ 1*х²+0*x +24    многочлены равны если

{ a=1 ; b-4a =0 ; 4a +5b =24 .  ( система написана в одной строке)

{ a=1 ; b=4a  ; 4a +5b =24.

{ a=1 ; b=4  ; 4*1 +5*4 =24.

ответ : a=1 ; b=4.