В чемпионате по водному полу каждая команда сыграла со всеми остальными по одной игре. За победу в матче присуждалось 2 очка, за ничью- 1 очко, за поражение -0 очков. Могли ли команды занявшие 1,2,3 места, набрать соответственно 7 очков, 5 очков и 3 очка, если каждая из остальных команд набрала меньше 3-х очков ? С объяснением, пожалуйста!

Вопрос школьника по предмету Математика

В чемпионате по водному полу каждая команда сыграла со всеми остальными по одной игре. За победу в матче присуждалось 2 очка, за ничью- 1 очко, за поражение -0 очков. Могли ли команды занявшие 1,2,3 места, набрать соответственно 7 очков, 5 очков и 3 очка, если каждая из остальных команд набрала меньше 3-х очков ? С объяснением, пожалуйста!

Ответ учителя по предмету Математика

Пусть было а- команд

Тогда каждый сыграл (а-1) игру

Тогда всего игр было сыграно : а(а-1)/2

деление на два тут нужно, чтобы учесть, что если команда 1 сыграла с командой 2, то это то же самое, что и команда 2 сыграла с командой 1 (если этого не учесть, получим что две команды играли друг с другом 2 раза, что противоречит условию)

Не зависимо от результата игры, в каждой игре разыгрывается 2 балла (либо 2 — 0, либо 1-1, либо 0-2)

Таким образом за всю игр было разыграно: a(a-1)/2*2=a(a-1) балл

Это кол-во баллов равно сумме баллов всех игроков.

Баллы 3 команд мы знаем точно: 7, 5, 3

Баллы остальных команд мы не знает, поэтому обозначим сумму оставшихся команд через «z»

Тогда: 7+5+3+z = a(a-1)=a^2-a

Не трудно догадаться, что оставшихся команд с неизвестными баллами было : (a-3) команды (т.к. у 3 команд баллы известны)

При этом известно, что каждая из этих команд набрала меньше 3 баллов, значит суммарно они набрали меньше 3(a-3) баллов 

тогда: z < 3(a-3)

выразим z из верхнего уравнения:

z=a^2-a-15

и z < 3(a-3)

Тогда: a^2-a-15<3a-9

a^2-4a -6<0

a^2-4a+4-10<0

(a-2)^2-10<0

(a-2-sqrt(10))(a-2+sqrt(10))<0

2-sqrt(10)<a<2+sqrt(10)

3=<a<=5

a=3, отсюда получаем, что всего в игре было разыграно 6 баллов, а из условия баллов было разыграно более 15

a=4, отсюда получаем, что баллов было разыграно 12, а их было из условия более 15

a=5, отсюда получаем, что было разыграно 20 баллов, из которых 15 баллов получили 1+2+3 места, следовательно

две оставшиеся команды получили: 20-15 = 5 баллов, отсюда следует, что одна из этих 2 команд получила не менее 3 баллов, что противоречит условию

Ответ: нет не могли