В треугольнике ABC высота CH, равная 5, и медиана BM, равная 4, пересекаются в точке K. Расстояние от точки K до стороны AB равно 1. Найдите сторону BC.

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В треугольнике ABC высота CH, равная 5, и медиана BM, равная 4, пересекаются в точке K. Расстояние от точки K до стороны AB равно 1. Найдите сторону BC.

Ответ учителя по предмету Геометрия

По теореме Менелая.

В треугольнике АСН с секущей МВ имеем:

(АМ/МС)*(СК/КН)*(НВ/ВА)=1. Отсюда

1*(4/1)*(НВ/ВА)=1. НВ/ВА=1/4.

В треугольнике АВМ с секущей НС имеем:

(АН/НВ)*(ВК/КМ)*(МС/СА)=1.

Учитывая, что (НВ/ВА)=1/4, имеем АН/НВ=3/1.

Отсюда (3/1)*(ВК/КМ)*(1/2)=1.

ВК/КМ=2/3. Но ВМ=4, значит ВК=4*(2/5)=8/5.

Тогда из прямоугольного треугольника НВК

по Пифагору ВН=√(ВК²-КН²) или

ВН=√(64/25-1)=√(39/25), а ВС из треугольника СНВ

ВС=√(ВН²+НС²) или ВС=√(39/25+25)=√664/5=2√166/5.

Ответ: ВС=0,4√166 ≈ 5,2.