В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной в него окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 3 и 7. Найдите площадь треугольника

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной в него окружности и гипотенузы делит гипотенузу на отрезки, длины которых равны 3 и 7. Найдите площадь треугольника

Ответ учителя по предмету Геометрия

Обозначим катеты а и в, радиус вписанной окружности r.

На катетах отрезки от острого угла до точки касания вписанной окружности тоже равны 3 и 7.

Тогда катеты равны r+3 и r+7.

По Пифагору (r+3)² + (r+7)² = 10².

r²+6r+9+r²
+14r+49 = 100.
2r²+20r-42 = 0,

r²+10r-21 = 0.

Квадратное уравнение, решаем относительно r: Ищем дискриминант:

D=10^2-4*1*(-21)=100-4*(-21)=100-(-4*21)=100-(-84)=100+84=184;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

r_1=(√184-10)/(2*1)=√184/2-10/2=√46-5 ≈1,78233;r_2=(-√184-10)/(2*1)=-√184/2-10/2=-√46-5 ≈ -11,78233 этот отрицательный корень отбрасываем.

Определяем катеты:

а = √46-5+3 = 
√46-2,
в = √46-5+7 = 
√46+2.
Площадь S треугольника равна:

S = (1/2)ab = (1/2)*(√46-2)*(
√46+2) = (1/2)*(46-4) = 42/2 = 21 кв.ед.