В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сто­роны оснований равны 6 см и 8 см, а боковые грани на­клонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Вопрос школьника по предмету Геометрия

В правильной четырехугольной усеченной пирамиде сто­роны оснований равны 6 см и 8 см, а боковые грани на­клонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды

Ответ учителя по предмету Геометрия

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна половине произведения суммы периметров её оснований и апофемы (высоты боковой грани).

S=(Р1+Р2)*А/2, где Р1 и Р2 — периметры, А — апофема (высота боковой грани правильной пирамиды)

Р1=4*8=32см — периметр нижнего основания.

Р2=4*6=24см — периметр верхнего основания пирамиды.

Найдем высоту боковой грани правильной пирамиды —  апофему.

Основания усеченной пирамиды — квадраты. Центр квадрата — пересечение его диагоналей. Проведем из центров оснований перпендикуляры ОН и JP к соответственным сторонам оснований. Это расстояния от центра до боковой стороны.

Для нижнего основания оно равно 4см (половина стороны основания). Для верхнего основания — 3 см.

Опустим перпендикуляр РК из точки Р верхнего основания  на нижнее основание. Получим равнобедренный прямоугольный треугольник НРК, так как <PHK = 45° (это данный нам угол наклона боковой грани к плоскости основания по определению).

В треугольнике НРК катеты равны разнице расстояний от центров оснований до боковых сторон, то есть 4-3 = 1см. тогда гипотенуза (апофемв) равна  √2 см (по Пифагору).

Sбок =(32+24)*√2 /2 = 28√2 см².