В остроугольном треугольника авс проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны

Вопрос школьника по предмету Математика

В остроугольном треугольника авс проведены высоты ВВ1 и СС1. Докажите, что углы ВВ1С1 и ВСС1 равны

Ответ учителя по предмету Математика

треугольники В1ЕС и С1ЕВ подобны по трём углам, угол В1ЕС=углу ВЕС1 как вертикальные, угол ЕВ1С= углу ЕС1В=90. =>угол ЕСВ1= углу ЕВС1.

В1Е/ЕС=ЕС1/ЕВ=sin(ECB1)=sin(EBC1)

т.к. В1Е/ЕС=ЕС1/ЕВ то значит треугольники В1ЕС и СЕВ подобны по двум сторонам и углу между ними. => угол С1В1Е= углу ВСЕ

Или так

Треугольники ВВ₁С и СС₁В — прямоугольные, т.к. высоты пересекаются с соответствующими сторонами под прямым углом.

Вокруг этих треугольников можно описать одну окружность, т.к. гипотенуза ВС у них — общая, и радиус этой окружности будет одним и тем же для описанной вокруг каждого треугольника окружности.

Т.е. точки С и В₁ будут лежать на одной и той же окружности. 

Углы ВВ₁С₁ И ВСС₁  — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, стягиваемую хордой С₁В. 

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу — равны, ч.т.д.