В выпуклом четырехугольнике ABCD известно: ∠ABC=140∘, ∠ADC=115∘, ∠CBD=40∘,  ∠CDB=65∘. Вычислите угол ∠ACD.

Вопрос школьника по предмету Математика

В выпуклом четырехугольнике
ABCD известно: ∠ABC=140∘, ∠ADC=115∘, ∠CBD=40∘,  ∠CDB=65∘.
Вычислите угол ∠ACD.

Ответ учителя по предмету Математика

30°

Пошаговое объяснение:

Решение

Так как ∠CAB = 60°, ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC = 60°, то треугольник ABC – равносторонний (рис. слева). Далее можно рассуждать по-разному.

Первый способ. В треугольнике ABD ∠ABD = 40°, ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD = 100°, значит, ∠BDA = 180° – (40° + 100°) = 40°. Следовательно, этот треугольник – равнобедренный (рис. слева). Таким образом, AB = BC = CA = AD, поэтому треугольник CAD – также равнобедренный. Значит,

∠ADC = ∠ACD = ½ (180° – ∠CAD) = 70°, ∠CDB = ∠CDA – ∠BDA = 70° – 40° = 30°.

Второй способ. Проведём окружность с центром A и радиусом AB = AC. Пусть она пересечёт луч AD в некоторой точке E (рис. справа). По теореме о вписанном угле ∠CBE = ½ ∠CAE = 20°, то есть лучи BE и BD совпадают. Следовательно, совпадают точки E и D. Так как окружность проходит через точку D, то ∠CDB = ½ CAB = 30°.

Ответ

30°.