вывести формулу, связывающую стороны правильного многоугольника с радиусами описанной и вписанной окружности

Вопрос школьника по предмету Геометрия

вывести формулу, связывающую стороны правильного многоугольника с радиусами описанной и вписанной окружности

Ответ учителя по предмету Геометрия

Вот на рисунке многоугольник со стороной а, и радиусы R оп. и r вп. окр.

Центральный угол n-угольника равен α = 360/n.

По теореме косинусов a^2 = R^2 + R^2 — 2R*R*cos α = R^2*(2 — 2cos α)

Отсюда R^2 = a^2/(2 — 2cos α) 

R = a/√[2 — 2cos(360/n)]

По теореме Пифагора

r^2 = OM^2 = R^2 — (a/2)^2 = R^2 — a^2/4 = a^2/(2 — 2cos α) — a^2/4 =

= a^2*[2/(4 — 4cos α) — 1/4] = a^2*(4 — 4cos α)/(2 — 1 + cos α)

r = a*√[(2 — 2cos α)/(1 + cos α)] = a*√[(2 — 2cos(360/n))/(1 + cos(360/n))]