Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а высота 8. Найдите: а) сторону основания; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь полной поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости её боковой грани

Вопрос школьника по предмету Математика

Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 12, а высота 8. Найдите: а) сторону основания; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь полной поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости её боковой грани

Ответ учителя по предмету Математика

Дана пирамида АВСDS, где S вершина пирамиды. SH апофема=12, точка О пересечение диагоналей основания (квадрата АВСD) SO=8.

a) Рассмотрим ▲SОН.

По теореме Пифагора ОН=√SH^2-SO^2=√12^2-8^2=√80=4*√5

АВ=ВС=CD=AD=2*OH=8*√5

б) cos SHO=SO/SH=8/12=2/3 <COH=arccos 2/3=48°48′

в) Sполной поверхности=Sоснования+Sбоковой поверхности

Sоснования=АВ*ВС=80

Sбоковой поверхности=4*Sграни

Sграни=АВ*SH/2=8*(√5)*12/2=48*√5

Sполной поверхности=80+4*48*√5=80+192*√5

г) Рассмотрим ▲SOH его площадь S=SO*OH/2=(8*4*√5)/2=16*√5 или 

S=SH*OP/2, где ОР высота, проведённая к стороне SH, то есть расстояние от центра основания пирамиды до плоскости её боковой поверхности.

ОР=2*S/SH=(2*16*√5)/12=(8*√5)/3